Testing Polynomial Identities

给定某个域下2个 $n$ 元多项式 $P,Q$ ，判定是否 $P \equiv Q$ 。

作差后问题等价于判定 $P \equiv 0$ 是否成立，同时给出条件 $deg(P) \leq d$ 。

确定性算法的复杂度较高，考虑随机算法。

一个随机算法是随机选一项 $x_1^{d_1}x_2^{d_2} \ldots x_n^{d_n}$ ，检查 $P$ 中以上项的系数是否是 $0$ ，这是一个one-sided error，计算一个值是线性时间的，很快。

考虑正确率，最坏情况下，需要遍历所有多项式的项数，不被我们接受。

考虑另一个随机算法，从有限集 $S$ 中均匀取值 $r_1,r_2,\ldots,r_n$ ，并代入 $P$ 计算。

下面计算一下正确率，首先给出结论，如果 $P \neq 0$ ，则 $Pr[P(r_1,\ldots,r_n)=0] \leq \frac{d}{|S|}$ ，这里 $d=deg P$ 。

考虑数学归纳法，当 $n=1$ 时显然至多有 $d$ 个根，结论成立。

设 $k$ 是 $P$ 关于 $x_1$ 的最大度数，则 $P(x_1,\ldots,x_n)=M(x_2,\ldots,x_n)x_1^k+N(x_1,\ldots,x_n)$

其中 $deg M \leq d-k$

若 $M(x_2,\ldots,x_n)=0$ ，则由归纳假设， $Pr[M(x_2,\ldots,x_n)] \leq \frac{d-k}{|S|}$ 。

若 $M(x_2,\ldots,x_n) \neq 0,$ 则固定 $x_2,\ldots,x_n$ 时，能使 $P=0$ 的 $x_1$ 不超过 $k$ 个，则 $Pr[P(x_1,\ldots,x_n)=0] \leq \frac{k}{|S|}$ 。

对以上两者使用 Union Bound 即得证。

思路：代入随机输入。

Bipartie Matching

给定一个二分图 $G= \langle V_1,V_2,E \rangle,|V_1|=|V_2|=n$ ，问是否存在完美匹配？

完美匹配概念回顾：图中每一个顶点都被选出的边独立集覆盖到了。

考虑二分图的邻接矩阵，现在对原本矩阵中的 $1$ 赋为一个变量，只需要检查它的行列式恒不为0即可，这个矩阵也被称为 $Tutte$ 矩阵。

为什么只需要检查它的行列式恒不为0？

设构造出的 $n \times n$ 矩阵为 $A$ ，行代表 $V_1$ 中的点，列代表 $V_2$ 中的点。若 $i \in V_1, j \in V_2$ 之间有边相连，则 $A_{ij} = x_{ij}$ （ $x_{ij}$ 是一个独立的变量），否则 $A_{ij} = 0$ 。这个矩阵在二分图的情况下也被称为 Edmonds 矩阵。

根据线性代数中行列式的定义（莱布尼茨公式）：

$$ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)} $$

其中 $\sigma$ 是一个对列的全排列，对应了从 $V_1$ 到 $V_2$ 的一种映射。

仔细观察乘积项 $\prod_{i=1}^n A_{i, \sigma(i)}$ ：它不为0当且仅当每一项 $A_{i, \sigma(i)}$ 都不为0，这意味着图 $G$ 中存在边 $(i, \sigma(i))$ 。因为 $\sigma$ 是一个全排列，这就相当于在图中找到了 $n$ 条互不相交的边，即一个完美匹配。

更关键的是，由于每个非零元素 $x_{ij}$ 都是独立的变量，所以没有任何两个不同的全排列 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 能够产生相同的单项式变量组合。因此，在求和过程中，这些单项式绝对不会互相抵消。

综上所述：

• 如果图 $G$ 不存在完美匹配，那么对于任何全排列，乘积项中都一定包含至少一个 $0$，导致 $\det(A) \equiv 0$ 。
• 如果图 $G$ 存在完美匹配，那么其中至少存在一项为非零单项式，导致多项式 $\det(A) \not\equiv 0$ 。

然后运用上文中判断多项式是否为0的方法即可。

这个算法是易于并行的，论文中提到在 $O(n^{3.5})$ 个处理器上用双log时间计算。

现在，要找到具体的完美匹配，怎么使用并行算法进行处理？

对于每一条边 $(i,j)$ ，检查 $A_{-ij}$ 的行列式是否为0。

现在，将每个边权随机为 $2^w$ ，则 $det=2^{w_1+w_2+\ldots +w_n}+\ldots +2^{w_1’+w_2’+\ldots +w_n}$ ，每一个非零的乘积项刚好对应一个完美匹配。

为了防止随机后的匹配导致刚好碰到行列式为0，因此指数随机后，如果存在最小完美匹配，可以更好地防止抵消。

假设最小完美匹配唯一，则最后 $det(A)=2^w \cdot odd$ 。

根据这个性质，提出新的并行算法，对于每一条边，检查 $2^{w_{ij}} det(A_{-ij})$ 是否等于 $2^w \cdot odd’$ ，如果是，那么加入到答案集合。

现在令 $w_{ij}$ 的取值集合为 $S$ ，给出以下结论：高概率存在唯一最小完美匹配，这个概率的下界是 $\frac{(|S|-1)^{|E|}}{|S|^{|E|}}$ 。

关于这一下界的证明思路（隔离引理 Isolation Lemma 的核心）：

在这个定理中，目标是证明“由于边权的随机性，最小权重完美匹配极大概率是唯一的”。

这里运用到了延迟决策的技巧。我们单独盯住图中的任意一条边 $e$ 。

假设上帝已经抛好了骰子，除了边 $e$ 以外的所有其他边的权重都已经固定。

在剩余图固定的情况下，图中所有的完美匹配分为两类：

• 一类是必须包含边 $e$ 的匹配，由于其他边已固定，这些匹配中其他边的权重和会有一个最小值，记为 $W_{\text{包含}}(e)$ 。
• 另有一类是绝对不包含边 $e$ 的完美匹配，它在剩余图中也有一个最小权重，记为 $W_{\text{不包含}}(e)$ 。

注意以上两个值完全是由其他边决定的，跟 $e$ 自己最终抽到的权重 $w_e$ 毫无关系。

此时，上帝来揭晓 $w_e$ 的值：

• 若 $w_e + W_{\text{包含}}(e) < W_{\text{不包含}}(e)$，则全局真正的最小匹配必定包含 $e$ 。
• 若 $w_e + W_{\text{包含}}(e) > W_{\text{不包含}}(e)$，则全局真正的最小匹配必定不包含 $e$。

唯一会造成麻烦的是平局： 当且仅当 $w_e + W_{\text{包含}}(e) = W_{\text{不包含}}(e)$ ，即 $w_e = W_{\text{不包含}}(e) - W_{\text{包含}}(e)$ 时，包含与不包含 $e$ 的最小匹配权值相等，从而导致最小匹配不唯一（发生歧义）。

但是，由于 $w_e$ 是从大小为 $|S|$ 的集合中均匀随机抽取的，它刚好抽中这个“唯一能造成平局的特定差值”的概率至多为 $\frac{1}{|S|}$ 。

也就是说，不发生扯皮（边 $e$ 很“安全”）的概率至少是 $1 - \frac{1}{|S|} = \frac{|S|-1}{|S|}$ 。

更进一步，要求图中所有 $|E|$ 条边都不发生扯皮（即不管怎么选，都不存在权重相同的并列第一名组合）。由于每条边的分析界都是如此，将它们连乘后，即可得到全局唯一最小完美匹配的概率下界为：

$$ \left( \frac{|S|-1}{|S|} \right)^{|E|} $$

隔离引理的另一种严谨证明（单射构造法）

除上述延迟决策法外，我们可以通过构造映射计算方案数的方法提供一个非常干净的证明：

设有 $|S|$ 个元素，每个元素在 $\{1,2,\dots,l \}$ 之间均匀随机抽取权值。

所有可能的权值分配方案集合记为 $\mathcal{W}$ ，显然 $|\mathcal{W}| = l^{|S|}$ 。

我们再定义一个保守的赋值方案子集 $\mathcal{W}^+$ ：要求所有元素的权值都严格大于 1（即在 $\{2,\dots,l \}$ 中取值）。

显然，保守方案的总数为 $|\mathcal{W}^+| = (l-1)^{|S|}$ 。

由于对于任意 $w \in \mathcal{W}^+$，都至少存在一些总权值最小的集合（可能不唯一）。我们人为在这些最小集合中任选一个作为代表，记为 $S_*$ 。

接着构造一种从“保守方案集合”到“拥有唯一最小集合方案”的映射函数，获得新的权重分配方案 $w’$ 。

此时， $w’$ 这个新分配方案具有极强的特性：它必定有唯一的最小集合，且这个集合就是刚才的 $S_*$。因为我们把原本可能并列第一的若干选手中的仅仅一个（即 $S_*$ 里包含的所有元素）强制减轻了重量（减去1），就强行将它塑造成了唯一的冠军。

由于原本 $w \ge 2$ ，减 1 后权重依然合法。

更重要的是，对于做完手术的 $w’$，我们通过找出它的这个唯一最小集合 $S_*$，然后给该集合的元素统统加上 1，就能完美复原出原本的 $w$ 。

这说明该映射是一个单射。

由此可知，“拥有唯一最小集合的好方案”必然存在，且数量大于等于源头样本也就是保守方案 $\mathcal{W}^+$ 的数量！

因此，满足条件的概率：

$$ Pr \ge \frac{|\mathcal{W}^+|}{|\mathcal{W}|} = \frac{(l-1)^{|S|}}{l^{|S|}} = \left( \frac{l-1}{l} \right)^{|S|} $$

立刻得证。此映射技巧非常精妙，它避免了处理复杂的概率事件交集，而是直接通过降维数方案的基数实现证明。

刚才提到对于每一条边，检查 $2^{w_{ij}} \det(A_{-ij})$ 与原多项式首项的关系。在计组算术与工程实现中，这其实等价于常见的 lowbit（取最低位二进制中 1 的位置）操作：

1. 为了找最小完美权匹配，我们令原本不带权邻接矩阵中的元素转为带幂次的独立数字方案： $A_{ij} = 2^{w_{ij}}$ ，新矩阵记为 $B$。

2. 此时，当 $\det(B) \neq 0$ （存在完美匹配时），全局最小完美匹配的权值之和 $\omega$ ，实际上就等于 $\det(B)$ 提取出来的末尾全 0 部分：

$$ \text{lowbit}(|\det(B)|) = 2^{\omega} \ (\text{即 } 2^{\text{minimal weights perfect match}})$$

3. 求解出匹配边的并行算法步骤即可提炼为：
   • Step 1: 首先计算 $2^\omega = \text{lowbit}(|\det(B)|)$ 提取全局最小值对应的 2 次幂基准线。
   • Step 2: 并行地扫描或派发所有的边 $(i, j)$，计算对应余子式，如果满足： $$2^{w_{ij}} \times \text{lowbit}(|\det(B_{ij})|) == 2^\omega$$ 也就是说：当强制把这条边加进去以后，得到的新图全域最小匹配，连一点额外的重量（幂次）都没加上，跟全局最优解严丝合缝对标上了。
   • Step 3: 满足该等式的边 $(i, j)$，就是那“唯一最小完美匹配”里的合法成员，将其输出！